Teoria das Aberrações Óticas

Aberrações são desvios de um sistema ótico das previsões da ótica paraxial (válida para ângulos pequenos em relação ao eixo de referência do sistema) [Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Dioptrische Untersuchungen, Göttingen, 1841] produzindo borramento da imagem, já que cada ponto do objeto não converge para um único ponto da imagem. As aberrações se dividem em monocromáticas, ou geométricas, e cromáticas, causadas por dispersão, isto é, pela variação do índice de refração com o comprimento de onda.

A ótica ativa consiste no ajuste do espelho primário em baixa freqüência, de escalas de tempo da ordem de segundos, para corrigir distorções causadas pela ação da gravidade e gradientes de temperaturas.

A ótica adaptativa consiste no ajuste do secundário ou terciário (deformáveis, corretores de fase) em alta freqüência, de 50 Hz a 10 mil Hz, para compensar em tempo real as deformações introduzidas no feixe pela atmosfera da Terra. Os espelhos deformáveis têm centenas de pequenos pistões (atuadores), acionados eletrônicamente, que ajustam a altura da superfície refletora por alguns mícrons em alguns microsegundos, retardando ou adiantando da radiação naquele ponto.

Uma estrela de magnitude visual V = 0 tem um fluxo observado de $F_\lambda$ =3,69 ×10⁹ erg cm^-2 s^-1 Å^-1 que corresponde a cerca de 1000 fótons cm^-2 s^-1 Å^-1. Para ótica adaptativa, precisamos detectar fótons em vários píxeis do detector de frente de onda a cada exposição de milésimos de segundos, mas existem poucas estrelas tão brilhantes no céu, principalmente dentro do campo de alguns minutos de arco de um telescópio de grande porte [John Norris Bahcall (1934-2005) & Raymond M. Soneira (1980) Astrophysical Journal Supplement Series, 44, 73] Nos telescópios de 8 a 10 m atuais, somente estrelas mais brilhantes que R=15 podem ser usadas como estrelas de referência e somente cerca de 5% do céu tem estrelas tão brilhantes próximas.
Por isto faz-se necessário criar estrelas artificais com lasers, que atingem uma altura de 90 a 100 quilômetros, na mesosfera, for fluorescência de átomos de sódio, não podendo corrigir os efeitos da alta atmosfera.

Como a fonte é observada superposta à luz espalhada de fontes terrestres, da luz das estrelas e da Lua, emissão difusa da Galáxia, luz zodiacal, etc, podemos aumentar a razão sinal-ruído da fonte simplesmente diminuindo o tamanho da imagem, pois isto diminui a quantidade de píxeis com ruído que precisam ser somados para medir a fonte.

Função de Espalhamento Puntual (Point Spread Function)

A imagem produzida por um telescópio em geral não é ideal, isto é, não segue um disco de difração (de Airy), devido à turbulência atmosférica, degradando a resolução. A refração pelas células da atmosfera é maior do que o limite de difração, em geral. O disco de Airy é definido como o disco até o primeiro mínimo do padrão de interferência por difração. A Função de Espalhamento Puntual (Point Spread Function, PSF) é a função que descreve a distribuição de luz produzida por uma imagem puntual, no plano da imagem, e sua largura mede a resolução real da imagem. No limite de difração,

$P(\vec{r}) = \frac{\pi D^2}{4 \lambda^2} [\frac{2J_1(\pi D\vert\vec{r}\vert/\lambda)}{\pi D\vert\vec{r}\vert/\lambda)}]^2 \eqno{1}$

onde P(r) é a intensidade no ponto r, J₁ é a função de Bessel de primeira ordem, J₁(x)=x/2-x³/(2³1!2!)+x⁵/(2⁵2!3!)+..., λ o comprimento de onda e D o diâmetro do telescópio.

Desta forma, P(r) é zero ou atinge um máximo de acordo com os zeros e máximos da função de Bessel J₁. Os primeiros zeros ocorrem para θ=1,220λ/D, 2,233λ/D e 3,238λ/D. Quando o centro do disco de Airy de uma fonte se sobrepõe ao primeiro mínimo de outra fonte, obtemos o critério de Rayleigh para a resolução.

A atmosfera preserva o fluxo total do objeto, mas distribui a energia diferentemente entre os píxeis. Se a PSF [P(r)] tem a mesma forma sobre todo o campo da imagem, chamamos esta condição de isoplanática. Isto não ocorre em geral, principalmente com a aplicação da ótica adaptativa, e a equação da imagem só é aplicável a parte da imagem.
As aberrações são medidas pelo sensor de frente de onda, em tempo real, que mede a estrela de referência, que pode ser uma estrela natural ou uma estrela artificial criada na alta atmosfera por um laser. Para o Altair, no Gemini, o campo corrigido é da ordem de 7" (50%), enquanto para o MCAO, 1'. O algorítmo de controle usa a aberração medida em tempo real para calcular as deformações que produziriam uma imagem sem qualquer aberração. A luz do objeto científico também é corrigida pelo espelho deformável, mas direcionada para a câmara científica.

Imagem de Urano no Observatório Keck, com telescópio de 10 m de diâmetro, de Urano, sem ótica adaptativa (esquerda) e com ótica adaptiva (direita).

A correção adaptativa de mais baixa ordem corresponde a inclinar e mover (tip-tilt), corrigindo as inclinações da frente de onda em duas dimensões (deslocamento de posição e ângulo). Esta correção é feita movendo rapidamente o espelho de tip-tilt que faz pequenas rotações em seus dois eixos. Estes movimentos corrigem significativamente as aberrações introduzidas pela atmosfera.

Ótica ativa no CFHT.

Refração

A refração da luz foi estudada em 1621 pelo matemático e físico holandês Willebrord Snell (1591-1626) e descrita pelo filósofo francês René Descartes (1596-1650) no seu livro Dioptrics de 1637. Se um feixe em um meio de índice de refração n incide com um ângulo i em uma superfície de um meio de índice de refração n′, o feixe emergente neste meio terá um ângulo i′ dado pela lei de refração de Snell-Descartes:

n sen(i)=n′ sen(i′)

Definindo uma frente de onda geométrica como aquela superfície em que a fase da luz é constante [Pierre de Fermat (1601-1665)], se a frente de onda emergente não for perfeitamente esférica, o erro de fase é uma medida das aberrações geométricas do sistema ótico.

Qualquer superfície z pode ser descrita numa expansão polinomial:

z = a_o+ a₁y+ a₂y²+ a₃y³+ a₄y⁴+ ...

Se definirmos a superfície como centrada em z=0:

z = a₁y+ a₂y²+ a₃y³+ a₄y⁴+ ...

e se a superfície for simétrica em relação ao eixo z=0, somente os termos pares (simétricos) serão não nulos:

z = a₂y²+ a₄y⁴+ a₆y⁶+ ...

A ótica gaussiana (paraxial) é por definição parabólica, de modo que o termo z = a₂y² define uma ótica gaussiana.

Podemos também expandir os senos em séries de Taylor:

sen(i) = i - i³/3!- i⁵/5! - ...

e definir a expansão em primeira ordem da Lei de Snell-Descartes como:

n i = n′i′

que é a forma paraxial (ângulos pequenos) da lei. Qualquer desvio da aproximação de Gauss é chamada de aberração.

Quando a luz de comprimento de onda λ passa por uma abertura, como o espelho primário de um telescópio de diâmetro D, ela sofre difração e os máximos da luz difratada ocorrem para ângulos θ_máximo tais que:

D sen(θ_máximo)=|n|λ,     n=0,1,2,3,...

como encontrado empiricamente por Thomas Young (1773-1809), em 1801, e Joseph von Fraunhofer (1787-1826). Se a luz incide com um ângulo i, a relação se torna

D[sen(θ_máximo)+sen(i)]=|n|λ,     n=0,1,2,3,...

que é chamada equação de rede de difração de Fraunhofer.

A razão Strehl é a razão entre a intensidade máxima observada no plano do telescópio de uma fonte puntual, comparada com a intensidade teórica máxima de um sistema perfeito no limite de difração, S=P(0)/P_A(0), definido por Karl Strehl (1864-1940) [1895, Aplanatische und fehlerhafte Abbildung im Fernrohr, Zeitschrift für Instrumentenkunde, 15 (Oct.), 362-370 e 1902, Über Luftschlieren und Zonenfehler, Zeitschrift für Instrumentenkunde, 22 (July), 213-217]. Na tabela são listadas as aberrações que resultam em uma razão de intensidades Strehl de 80%, para uma fonte puntual, não coerente e sem vinhetamento.

Redução na razão Strehl por aberração. A imagem e linha (PSF = point spread function, função de espalhamento de imagem à esquerda) mais alta correspondem a imagem sem aberração, a seguinte com Strehl de 0,8 e a mais baixa com o dobro desta aberração, Strehl de 0,4. O gráfico à direita mostra o contraste (área comum normalizada de dois círculos separados por ν), de Telescope Optics.

A turbulência atmosférica faz com a onda plana incidente seja deformada. A parte da onda que atinge um parte da atmosfera mais quente e, portanto, com índice de refração menor, é adiantada em relação à outra. Como a turbulência atmosférica varia de célula para célula (raio de coerência de Fried), as perturbações de fase diferem de uma célula para outra, e a compensação calculada na direção de estrela de referência se degrada em outras direções. Para a ótica adaptativa utilizada atualmente nos telescópios no Chile e em Mauna Kea, o ângulo isoplanático, definido como o ângulo a partir da estrela de referência em que a razão de Strehl cai por 50%, é da ordem de 20" em J (1,2 μm), a 40" em K (2,2 μm).

Laser multiconjudado no Gemini sul e imagem da nebulosa de Órion obtida com o GEMS (sistema de ótica ativa multiconjudaga) do telescópio Gemini sul.

O Gemini Sul lançou em 2011 um laser de 589 nm gerando pela primeira vez 5 estrelas a 90 km de altura, excitando íons de sódio (Gemini Multiconjugate Adaptative Optics), com o objetivo de atingir um campo isoplanático de um alguns minutos de arco, já que diferentes sensores de onda permitirão uma correção integrada, utilizando-se mais de um espelhos deformáveis. Note um ganho de um fator de 2× na PSF (seeing) significa um fator de 4× na concentração da luz captada de uma fonte puntual, ou 0,75 magnitude no ganho. Note também que galáxias com z>1 podem ser consideradas como puntuais, já que têm cerca de 0,2", independente de z.

Em 1934, o físico holandês Frits Zernike (1888-1966), ganhador do prêmio Nobel de 1953 por sua invenção do microscópio de contraste de fase, propôs a decomposição em polinômios de Zernike, um conjunto ortogonal que permite a separação clara dos diversos efeitos de aberração.

Os polinômios pares são dados por

os ímpares por

com a parte radial dada por

se n-m é par, e

se n-m é impar, onde m e n são inteiros não negativos, com m>n, φ o ângulo azimutal em radianos, e ρ a coordenada radial normalizada.

Tutorial sobre ótica adaptativa de Andrei Tokovin, do CTIO
SAM (SOAR Adaptive Module) - Módulo de ótica adaptativa do Soar, desenvolvido por Andrei Tokovin. Imagem do sistema triplo I385 (HIP 85216) com duas componentes a 0,39 e 0,26 segundos de arco, obtida em 2 de outubro de 2009, na banda I. A resolução é da ordem de 0,1 segundos de arco.
Um sensor de frente de onda para astronomia precisa ser eficiente, trabalhar com luz branca e ser rápido, pois as fontes são fracas. Um sensor de frente de onda muito utilizado é conhecido como Shack-Hartmann (Johannes Franz Hartmann (1865-1936), 1900, Bemerkungen über den Bau und die Justirung von Spektrographen. Zeitung Instrumentenkd, 20, 47; Roland V. Shack & Ben C. Platt, 1971, Production and use of a lenticular Hartmann screen, Journal of the Optical Society of America, 61, 656) e utiliza um conjunto de pequenas lentes para projetar uma imagem em um CCD e permitir a medida dos deslocamentos da frente da onda. Se a frente de onda não for plana, as imagens são deslocadas de sua posição regular.

Matematicamente, a imagem observada é a convolução da imagem original, I^o, com a função que descreve a distorção atmosférica (Φ):

I(x,y) = ∑_i,j I^o (i,j) Φ(x+i,y+j)

Em 1941, Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) (Doklady Akademii Nauk S.S.S.R, 30, 229) propôs que em um meio turbulento, a energia cinética dos movimentos de larga escala é transferida para movimentos com escalas cada vez menores, até que este processo pare quando a energia cinética for dissipada por fricção viscosa. Num estado estacionário, a dissipação de energia $\varepsilon_0$ deve ser igual à taxa de produção de energia turbulenta. Seguindo este raciocínio, Kolmogorov assumiu que a velocidade $v$ do movimento é proporcional à escala $\ell$ e à taxa de produção e dissipação de energia $\varepsilon_0$. Como nas escalas maiores $\varepsilon_0 \propto v^2/\tau$, onde $\tau$ é o tempo característico $\tau \equiv v/\ell$,

$v \propto \varepsilon_0^{\frac{1}{3}}\ell^{\frac{1}{3}}$

Em uma análise espectral (de Fourier) da energia cinética em função de um número de onda $k=\pi/\ell$, a energia $E(k)dk$ entre $k$ e $k+dk$ é proporcional a $v^2(k)$, logo

$E(k)dk \propto k^{-\frac{2}{3}} \longrightarrow E(k) \propto k^{-\frac{5}{3}}$

conhecida como a lei de Kolmogorov, que só é valida longe das bordas $L_0^{-1} \gg k \gg \ell_0^{-1}$, onde $L_0$ é a escala externa, geralmente a escala da região que dá origem à turbulência, e $\ell_0$ a escala na qual a dissipação por viscosidade ocorre. Neste modelo, a intensidade no ponto r é dada por P(r)=exp[-3.44(λr/r₀)^5/3], onde r₀ é a escala de coerência atmosférica, o parâmetro de Fried, representando a escala característica da atmosfera. Este modelo é a base da Ótica Adaptativa, e resulta em uma imagem com

Point Spread Function=seeing=0.98λ/r₀

Para λ=5000 Å e r₀=10 cm → PSF=1". Para um ótimo sítio, r₀=30 cm, e PSF=0.3". A razão Strehl para a PSF atmosférica é igual a um telescópio ideal de diâmetro r₀.
Gráfico dos polinômios, de Lakshminarayanan V., Fleck A., Zernike polynomials: a guide, Journal of Modern Optics, 2011, vol. 58, p. 545.
Tutorial de Andrei A. Tokovinin (CTIO) sobre ótica adaptativa
Páginas do Gemini sobre ótica adaptativa. O Natural Guide System precisa de estrelas mais brilhantes que m=13, e o laser no GN tem 10W. MCAO laser 31W.

Página, em inglês, sobre aberrações óticas.
Página sobre ótica adaptativa multiconjugada do Gemini
Ótica Adpativa no ESO. Estão desenvolvendo o 4LGSF, com 4 lasers de 20 W.

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