Variança da média

Definimos como $p(x)$ a probabilidade de um evento ocorrer entre $x$ e $x+dx$:

$\int p(x)dx = 1$

a média μ

$\mu = \int x p(x)dx$

a variança $\sigma^2$:

$\sigma^2 = \int (x-\mu)^2 p(x)dx$

o desvio padrão $\sigma$, e o modo, que é o valor mais provável da distribuição

$\frac{d\,p(x)}{dx}\bigg\vert _\mathrm{modo}=0$

Definindo a média de um conjunto de medidas, $\bar x$:

$\bar x = \frac{\sum x_i}{N}$

e a variança do conjunto:

$\sigma^2_x = \frac{\sum (x_i - \bar x)^2}{N-1}$

Como nossas medidas são finitas, a média $\bar{x}$ não é idêntica à média μ. Se medirmos nossas médias $\bar{x}$ várias vezes, podemos calcular a variança da média:

$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum (\bar{x}_k - \bar{x})^2}{N-1}$

Substituindo a definição da média $\bar{x}_k$, obtemos

$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{1}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N \sigma_{ij}$

Se as medidas i e j não são correlacionadas,

$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{1}{N}\sigma_x^2$

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