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Função Luminosidade

As observações de James W. Liebert (1946-), Conard C. Dahn e David G. Monet em 1988 mostram que as anãs brancas vão ficando cada vez mais raras quando a temperatura efetiva é menor do que 5000 K, e finalmente quando $\log L/L_\odot<-4,5$, não há mais nenhuma anã branca observada. O tempo de esfriamento das anãs brancas até estas baixas luminosidades e temperaturas é maior do que a idade do disco de nossa Galáxia, de modo que mesmo as anãs brancas formadas na primeira geração de estrelas ainda estão visíveis. O halo é cerca de 2 bilhões de anos mais velho e as anãs brancas acima de 0,8 massas solares já estão mais fracas que o limite de detecção do Telescópio Espacial Hubble, mesmo para aquelas que estão nos aglomerados globulares mais próximos.

Para estimar a função luminosidade a partir de observações limitadas em magnitude, é preciso corrigir cada observação pelo inverso do volume que aquela magnitude pode ser observada [Maarten Schmidt (1929-), 1968, Astrophysical Journal, 151, 393], considerando-se as magnitudes mínimas e máximas das observações:

$V_{max} = \frac{4\pi}{3}\beta(r_{max}^3-r_{min}^3) \exp(-z/z_0)$

onde $\beta$ é a fração do céu observada, $r_{min}$ é devido à magnitude máxima observada, de saturação do instrumento, e $z_0$ é a escala de altura do disco da Galáxia.

O decréscimo no número de anãs brancas para baixas luminosidades representa um decréscimo na função luminosidade -- a densidade espacial de anãs brancas, por intervalo de magnitude bolométrica absoluta (número $\times$ luminosidade) -- foi primeiro explicado em 1987 por Donald Earl Winget (1955-), Carl John Hansen (1933-2011), Hugh M. Van Horn (1938-), Gilles Fontaine (1948-), R. Edward Nather (1926-2014), Kepler de Souza Oliveira Filho (1956-) e Donald Quincy Lamb (1945-), em termos da idade finita da disco local da nossa Galáxia, de cerca de 9 Ganos.

James Liebert, Pierre Bergeron & Jay B. Holberg, em 2005, no artigo publicado no Astrophysical Journal Supplement, 156, 47 e Hugh C. Harris et al., em 2006, no artigo publicado no Astronomical Journal, 131, 571, confirmam o decréscimo do número de anãs brancas abaixo de 4500K para conjuntos maiores de anãs brancas.

A função luminosidade teórica é dada por ($\Phi$, em unidades de $\rm pc^{-3}\,M_{bol}^{-1}$):

$\Phi = \int^{M_U}_{M_L} \int^{L_U}_{L_L} \psi(t)\,\phi(t) {dt_{esfriar} \over d\log(L/L_\odot)} {dm \over dM} dL\,dM,$

onde $M_L$ e $M_U$, $L_L$ e $L_U$ são os limites inferiores e superiores das massas e luminosidades das estrelas na sequência principal que produzem anãs brancas observáveis, respectivamente. O limite inferior para a massa é o turn-off point da sequência principal para a idade do disco ($t_{disco}$), obtida integrando-se $t_{SP}=t_{disco}$. A luminosidade superior é de cerca de $10 \,L_{\odot}$, e a luminosidade inferior é obtida para uma idade:

$t^{max}_{esfriar}[M_{{ana branca}}(M_{SP})] = t_{disco} - t_{SP}(M_{SP}).$

Outros valores necessários incluem a taxa de formação estelar (SFR) como função do tempo, $[SFR\equiv\psi(t)]$, a função inicial de massa $[IMF\equiv\phi(t)]$, a relação massa inicial $\rightarrow$ massa final $(dm/dM)$, e naturalmente a taxa de esfriamento das anãs brancas, que depende da massa.

Função luminosidade das anãs brancas, calculada por Matthew Allan Wood (1961-) para idades do disco da nossa Galáxia entre 6 (linha à esquerda) e 12 Ganos (linha à direita). Os modelos de anãs brancas têm núcleo de carbono (linha contínua) e oxigênio (linha pontilhada), e os pontos são as observações de James W. Liebert (1946-), Conard Dahn e David Monet de 1988. As caixas, em baixa luminosidade, indicam a incerteza nos dados. As curvas que passam pela caixa de mais baixa luminosidade têm idade entre 6,5 e 8,5 Ganos, se as anãs brancas têm núcleo de oxigênio, e entre 8,5 e 11 Ganos, se têm núcleo de carbono. A incerteza na composição do núcleo se deve à incerteza na taxa de reação nuclear C(, $\gamma$)O.

Função de luminosidade para anãs brancas identificadas espectroscopicamente no Data Release 7 do Sloan Digital Sky Survey, de acordo com Kepler de Souza Oliveira Filho, publicado no artigo Mass Distribution and Luminosity Functions for DAs and DBs, no Proceedings of 18th European White Dwarf Workshop, editores Jerzy Krzesinski, G. Stachowski, Pawel Moskalik, & K. Bajan, Astronomical Society of the Pacific Conference Proceedings, Vol. 469, p.83-87.

Modelos de estrelas anãs brancas de acordo com os cálculos de Gilles Fontaine (1948-), Pierre Brassard e Pierre Bergeron, da Université de Montréal, no Canadá, publicados em 2001 no Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 113, 409.

Evolução da estrutura do modelo de uma anã branca com 0,6 M_Sol, durante seu esfriamento desde T_ef=35 000K (curva superior) até T_ef=2 000K (curva inferior). Os modelos evolucionários incluem o envelope até uma profundidade ótica τ≥10^-8. Cada porção sólida indica a região radiativa, a parte pontilhada a convectiva e a parte tracejada a cristalizada (Γ≥180). O topo da camada convectiva está sempre na fotosfera. Os elétrons estão degenerados à direita do ponto escuro em cada curva. O círculo aberto indica a região em que os íons tornam-se correlacionados (Γ≥1, fase fluída). As linhas tracejadas indicam as zonas de transição de composição química, de H/He para baixas densidades e de He/C para mais altas densidades. Estes modelos foram calculados com núcleos somente de carbono, enquanto na realidade as anãs brancas têm núcleos de C e O, mas cuja fração depende da taxa C(α,γ)O. Note que embora o núcleo de C compreenda somente uma parte de cada curva, ele corresponde a 99% da massa da estrela (72% do raio). Embora a condução seja dominante no núcleo degenerado, as curvas mostram que o núcleo de uma anã branca nunca fica realmente isotérmico. Os modelos evolucionários indicam que a máxima quantidade de hélio que sobrevive a fase quente de núcleo de nebulosa planetária é de 10^-2 da massa total (18% do raio) da estrela e que a máxima massa em hidrogênio é de 10^-4 da massa da estrela (10% do raio).

Curvas evolucionárias para modelos com 0,4; 0,6; 0,8; 1,0 e 1,2 M_Sol, de cima para baixo. As curvas mais grossas indicam as isócronas, com o tempo de esfriamento em unidades de Ganos. Os pontos escuros indicam o início da cristalização no centro do modelo (com Γ≈180). Os círculos abertos em altas temperaturas (esquerda) indicam a transição de esfriamento dominado por neutrinos, em temperaturas mais altas, para esfriamento dominado por radiação, para temperaturas mais baixas. Os círculos abertos no meio do diagrama indicam o início do acoplamento convectivo entre o envelope e o núcleo. Este acoplamento, quando a zona de convecção atmosférica chega ao núcleo provoca uma mudança acentuada na taxa de esfriamento, já que a convecção transporta o calor do núcleo muito mais efetivamente do que o envelope radiativo existente até então. Este efeito provoca o aumento no número de anãs brancas observadas nesta temperatura efetiva, como veremos no gráfico da função luminosidade.

A linha sólida mostra a curva de esfriamento (log t_cool × log L/L_Sol) para um modelo de 1,3 M_Sol. A linha tracejada mostra a progressão da frente de cristalização (com Γ≈180) desde o centro até a base da camada de H. A posição da frente está expressa no lado direito do gráfico. Os plateaus correspondem às zonas de transição de composição química: a de C/He próximo a log(1-M_X/M_*)=-2, já que os modelos têm uma camada de He de 10^-2 M_*. A transição de He/H está em log(1-M_X/M_*)=-4, já que os modelos têm uma camada de H de 10^-4 M_*. A linha pontilhada ilustra a relação L-T_c no modelo.

Curvas evolucionárias de 12 modelos com massas entre 0,2 e 1,3 M_Sol, de cima para baixo. Todas as curvas, exceto a de 0,2 M_Sol, estão deslocadas para baixo para visualização. O círculo aberto em maior luminosidade corresponde ao início da cristalização no centro (com Γ≈180) e o segundo quando 98% da massa está cristalizada. O ponto escuro indica quando inicia o acoplamento convectivo, isto é, quando a zona de convecção superficial atinge o núcleo. A liberação do excesso de energia térmica associada ao acoplamento convectivo é maior do que o efeito da liberação do calor latente de cristalização.

Funções de luminoside calculadas para um modelo do disco galáctico, assumindo taxa de formação estelar constante e função inicial de massa de Salpeter [Edwin Ernest Salpeter (1925-2008)] (IMF ∝ M^-2,35). O tempo de vida na sequência principal está assumido como t_MS = 10^-2,5 Ganos. As curvas foram normalizadas no ponto indicado pelo círculo. O pico em L/L_Sol~10^-4 corresponde ao acúmulo de anãs brancas devido à liberação de calor por cristalização e acoplamento convectivo.

Curvas de esfriamento de tres modelos para uma anã branca de 0,6 M_Sol, diferindo somente pela composição do núcleo. O modelo com núcleo de C leva mais tempo para esfriar do que os outros modelos, simplesmente por que tem mais partículas.

Distribuição de 135 anãs brancas reportadas por Pierre Bergeron, Sandy K. Legget e Maria Teresa Ruiz (2001, ApJS, 133, 415). A barra de erros média está indicada no canto superior direito. As curvas são isócronas, com idades expressas em Ganos. As curvas sólidas representam somente o esfriamento das anãs brancas, enquanto as linhas pontilhadas incluem a fase de evolução na sequência principal, assumindo metalicidade solar. Os objetos com massa aparente abaixo de 0,45 M_Sol representam mais provavelmente binárias degeneradas não resolvidas, mas também estrelas individuais provenientes da fase de envelope comum de um sistema binário interagente. A teoria de evolução estelar não permite a formação de uma anã branca com massa menor que 0,45 M_Sol no tempo de Hubble. Para uma temperatura efetiva, uma binária degenerada não resolvida interpretada como um objeto simples será interpretada como um objeto com excesso de luminosidade, ou seja, com raio maior e portanto massa menor, pela relação massa-raio das estrelas degeneradas. As que forem realmente individuais devem ter núcleo de hélio. As duas estrelas mais velhas são as duas estrelas próximas à isócrona de 11 Ganos.

Comparação das funções luminosidades teóricas com o observada por James W. Liebert, Conard C. Dahn e David G. Monet (1988, Astrophysical Journal, 332, 891), mas recalibrada por Sandy K. Legget, Maria Teresa Ruiz e Pierre Bergeron (1998, Astrophysical Journal, 497, 294) e a observada por R.A. Knox, M.R.S. Hawkins and Nigel C. Hambly (1999, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 306, 736). A melhor isócrona, incluindo o tempo de vida na sequência principal, tem 11 Ganos para o disco local. Como os modelos têm núcleo de carbono, e metalicidade solar, este é o limite superior para a idade.

Distribuição de 135 anãs brancas reportadas por Pierre Bergeron, Sandy K. Legget e Maria Teresa Ruiz (2001, Astrophysical Journal Supplement Series, 133, 415) no diagrama de magnitude absoluta × cor (V-I). As curvas são isócronas, incluindo a evolução na sequência principal, para metalicidades solares, com idades em Ganos, para modelos com 0,45 M_Sol (curva superior) e 1,2 M_Sol (curva inferior). Note que as cores (V-I) retornam para o azul para T_ef < 4000K devido a formação de pseudo-moléculas de H₂. Estas pseudo-moléculas têm alta opacidade no infravermelho, forçando a radiação para comprimentos de onda menores.

Função luminosidade obtida por Hugh C. Harris et al. (2006, Astronomical Journal, 131, 571) com as anãs brancas, do disco da Galáxia, observadas pelo Sloan Digital Sky Survey, mas selecionadas fotometricamente e não por espectroscopia.

Evolução do fluxo emergente de uma anã branca de 0,6 M_Sol para temperaturas efetivas de T_ef=13 500 K, 7500 K, 4500 K e 1500 K (curvas sólidas de cima para baixo). As distribuições de corpo negro correspondentes estão ilustradas pelas linhas pontilhadas. As curvas de transmissão dos filtros V e I também estão graficadas. Somente para a curva com menor temperatura, T_ef=1500 K vemos o excesso de fluxo abaixo de 10 000 Å.

Parte do diagrama cor-magnitude para o cúmulo aberto M67 observado por Harvey B. Richer, Greg G. Falhman, J. Rosvick & R.A. Ibata (1998, Astrophysical Jornal, 504, L91) com isócronas de 1 a 9 Ganos, incluindo o tempo de vida dos progenitores na sequência principal, mas calculados para metalicidade solar e não para a metalicidade do aglomerado.

Comparação da função luminosidade com as isócronas para as anãs brancas de M67.

Parte do diagrama cor-magnitude para o cúmulo globular M4 observado por Harvey B. Richer et al. (1997, ApJ, 484, 741) com o Telescópio Espacial Hubble. As isócronas graficadas são de 1 a 9 Ganos, incluindo o tempo de vida dos progenitores na sequência principal. O diagrama observado não se extende suficiente para mostrar as anãs brancas mais velhas.
A observação de algumas anãs brancas próximas mas com alta velocidade, além da observação de algumas anãs brancas no Hubble Deep Field norte e sul, são compatíveis com um halo de 2 a 4 Ganos mais velho.

Distribuição de anãs brancas por magnitude aparente no cúmulo globular M4, o mais próximo da Terra, a 7000 anos-luz de distância, obtida com exposições totalizando 8 dias com a Wide Field Planetary Camera II do Telescópio Espacial Hubble por Harvey Richer e colaboradores (2002, Astrophysical Journal Letter, 574, L151). A linha azul mostra a curva equivalente para o disco galático, obtida por Libert, Dahn e Monet em 1988. A nova distribuição, publicada por Brad M.S. Hansen e colaboradores em 2002, (Astrophysical Journal Letter, 574, L155) apresenta anãs brancas ainda mais frias que no disco, levando a uma idade entre 12 e 13 bilhões de anos para as anãs brancas e 13 a 14 bilhões de anos para o Universo. O tempo de vida pré anã branca foi calculado para metalicidade solar, o que exarceba a idade, já que os tempos de vida de estrelas de baixa metacilicade são muito menores do que para metalicidade solar, chegando a um fator de 2× menor.

Diagrama HR do cúmulo globular NGC 6397, observado durante 126 órbitas com o Telescópio Espacial Hubble e publicado por Harvey B. Richer (UBC), Aaron Dotter (Dartmouth), Jarrod Hurley (Swinburne), Jay Anderson (Rice), Ivan King (Washington), Saul Davis (UBC), Gregory G. Fahlman (HIA/NRC), Brad M. S. Hansen (UCLA), Jason Kalirai (UCSC), Nathaniel Paust (STScI), R. Michael Rich (UCLA), Michael M. Shara (AMNH) no Astronomical Journal, 135, 2141, em 2008, mostrando tanto a sequência principal quanto a faixa de esfriamento das anãs brancas, até as anãs brancas mais frias, que se tornam azuis por absorção devido a formação de pseudo-moléculas de H₂ ou H-He, por colisões. As estrelas selecionadas para o diagrama têm movimento próprio indetectável, comparando com imagens obtidas vários anos antes com o Wide Field Planetary Camera II e, portanto, não estão na frente do cúmulo.

O desvio para o azul (blue hook) das anãs brancas mais frias, causado pelas absorções induzidas por colisões (CIA), primeiro observadas em 1885 quando Pierre Jules César Janssen (Comptes Rendus de l'Académie des sciences de Paris, 101, 649) observou que para o oxigênio a pressões de centenas de atmosferas, novas bandas aparecerem e o coeficiente de absorção passa de proporcional ao número de partículas do gás para proporcional ao quadrado no número de partículas, isto é, indicando que as interações ocorriam por pares de moléculas e não por moléculas individuais. Em 1873, o físico holandês Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) já havia postulado que as interações intermoleculares incluíam uma componente atrativa, mas as absorções induzidas por colisão causam linhas muito difusas devido à pequena duração da colisão, da ordem de 10^-13s, levando a uma largura natural muito grande pelo princípio da incerteza de Heisenberg, enquanto as forças de van der Waals duram 10^-10s ou mais. Os momentos de dipolos induzidos pela interação causam um rearanjo temporário das cargas eletrônicas, formando temporariamente uma supermolécula, e produzindo absorções ou emissões além daquelas das moléculas não interagentes [Collision-induced Absorption in Gases, Lothar Frommhold, 1993, Cambridge University Press].

Neste caso, a pressão P precisa ser calculada como

$P = NkT - N^2 2\pi kT \int_0^\infty [\exp ( -\frac{V(r)}{kT})-1] r^2 dr$

onde V(r) é o potencial de interação, função da distância internuclear.

Pierre Bergeron e Sandy K. Leggett, (2002, Astrophysical Journal, 580, 1070) calcularam os espectros de anãs brancas frias incluindo os efeitos de absorções induzidas por colisões de moléculas H₂ com outras moléculas de H₂, calculados por Aleksandra Borysow, Uffe Gråe Jørgensen, & Yi Fu (2001, Journal of Quantum Spectra and Radiative Transfer, 68, 235), mas também com He neutro, calculados por Uffe Gråe Jørgensen, Dominik Hammer, Aleksandra Borysow & Jens F. Falkesgaard (2000, Astronomy & Astrophysics, 361, 283). As absorções ocorrem por colisões de H₂-H₂, H₂-He e H-He. Como anãs brancas ricas em hélio frias tendem a ter opacidade menor e portanto pressão atmosférica maior, a deficiência de fluxo infravermelho aparece a temperaturas mais altas em anãs brancas ricas em hélio do que nas ricas em hidrogênio.

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