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Transições Ligado-Livre

As transições ligado-livres somente ocorrem se a radiação tiver freqüência superior àquela necessária para remover o elétron da camada em que ele se encontra, para um átomo de um elemento presente no meio. Se designarmos $E_{n,i}$ como a energia do átomo ou íon de tipo $i$, a partir do nível de energia de número quântico $n$, então a absorção ocorrerá para os fótons com freqüência superior a

$\nu_{i,n}=\frac{E_{i,n}}{h},$

onde $h$ é a constante de Planck. O excesso de energia do fóton, $h(\nu-\nu_{i,n})$, aparecerá como energia cinética do elétron emitido. Em 1923 Kramers derivou a fórmula para o coeficiente de absorção ligado-livre e livre-livre para transições por raio-X, por elétron na camada $n$. Para freqüências acima da freqüência de corte, o coeficiente de absorção por partícula será dado por:

para $\nu$ em Hertz. $g_i(\nu,n)$ é o fator de Gaunt, que precisa ser calculado usando-se a mecânica quântica, e representa a correção quântica à derivação semi-clássica de Kramers. O fator de Gaunt foi publicado por John Arthur Gaunt (1904-1944) que fora estudante de Ralph Howard Fowler (1889-1944), em 1930, no artigo Continuous Absorption, no Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 229, 163, para várias situações. Esta correção é próxima de um e varia lentamente com a freqüência. O fator correção $S_{n,i}$, chamado de fator de escudamento ( screening factor), leva em conta que a carga real vista pelas partículas é $Z_iS_{n,i}$, menor do que $Z_i$, pois os elétrons livres formam uma nuvem entre os íons, reduzindo sua carga efetiva. Este fator também corrige pela redução da carga nuclear efetiva devido à existência, se for o caso, de elétrons em camadas mais internas do que a em considereção, e mesmo de outros elétrons na mesma camada.

Para o ionização do hidrogênio a partir do estado fundamental

$g_{1f}=8\pi \sqrt{3}\frac{\nu_1}{\nu} \frac{e^{-4z \cot^{-1}z}}{1-e^{-2\pi z}}$

onde $\nu_1$ é a freqüência de referência (limite de Lyman),

$z^2=\frac{\nu_1}{\nu-\nu_1}$

e o fator de Gaunt varia de 0,797 para 912Å, a 0,515 para 9,12Å.

Como um exemplo, $a_0^H(912\AA,1)=6,3\times 10^{-18}~{{cm^2}}$, já que a freqüência correspondente a $\lambda=912$ Å é  $\nu=3,29 \times 10^{-15}$ Hz.

Entre as bordas de absorção, isto é, para n=constante, $a_0$ varia aproximadamente como $1/\nu^3$.

Se o gás estiver parcialmente degenerado, um fator adicional $q_{{bf},i}$ precisa ser introduzido para levar em conta que a célula do espaço de fase correspondente ao estado final (livre) do elétron pode já estar ocupada por outro elétron.

$q_{{bf},i} = \frac{1}{\exp(\varepsilon_F-\frac{h\nu-E_{i,n}}{kT}+1)},$

ou seja, podemos substituir o fator de Gaunt acima por

$g_{{bf},i} \equiv g_i(\nu,n)q_{{bf},i}.$

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